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古代有许多著作,是因为他们找全了资料。丢番图的算术就是这样的情形。
毕达哥拉斯学派喜欢思考几何问题,丢番图的都是代数问题。比如,花一定的钱买不同的各种价钱的东西,总共有几种买法。能不能有效的把所有可以的买法全部都计算出来?
丢翻图对路人甲说:“东方有一个问题,1公鸡值1钱,1母鸡值3钱,3小鸡值1钱。有一百钱可以怎么买这些鸡?分数肯定是不行的,很多东西不能分成几半,所有东西上必须是整数。肯定不能是分数。”丢番图是一个不喜欢分数的人,认为用分数解方程不能解决所有问题。
路人甲陷入思考,脑子有点转不过来。皱眉说:“我不会算呀!这个怎么算?”
丢翻图说:“东方的算术书里已经有了答案,公鸡、母鸡和小鸡的比例有4:18:78,又有8:11:81,又有12:4:84这三种答案。”
路人甲说:“你也是看答案知道的。你有简单的方法计算这些吗?”
丢翻图说:“我只有笨办法去试,没有简单快速的办法。如果有,那可是伟大的发现。”
路人甲说:“会有聪明的后人发现吗?”
丢翻图说:“估计不会。因为没有简单方法,所以这才是这个问题的魅力。”
路人甲说:“没错,但是如果一个式子的解都是小数或者分数,你不会去用吗?”
丢翻图说:“我喜欢整数,不喜欢分数和小数。一个式子,我只关注有没有整数解,如果没有整数解,就相当于无解。因为很多事情必须要用整数来表达。我喜欢去寻找各种各样的公式。然后就去寻找这些公式的整数解。”
路人甲说:“你具体是怎么做的?”
丢翻图说:“写出一个不定方程,计算所有整数解。先看看何时有解,看看有解的时候决定解的个数,然后求出所有的解。”
丢番图的出生日期不可靠,但他的墓碑上有很经典的一道数学题目:
“坟中安葬着丢番图,多么令人惊讶,它忠实地记录了所经历的道路。上帝给予的童年占六分之一,又过了十二分之一,两颊长胡,再过七分之一,点燃起结婚的蜡烛。五年之后天赐贵子,可怜迟来的宁馨儿,享年仅及其父之半,便进入冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补,又过了四年,他也走完了人生的旅途。终于告别数学,离开了人世。”
这是一个一次方程,答案是84岁。
费马有一天看到这个书,开启自己的数学生涯。费马大定理问题由此开始。
可是究其一生丢番图的发现也没有让自己的不定方程能解的更快,其中办法只有穷举法或者是穷举法的各种延伸。
都约两千年后的1900年,希尔伯特提出丢番图问题的可解答性为他的23个问题中的第10题。1970年,一个数理逻辑的结果马蒂雅谢维奇定理(Matiyasevichstheorem)说明:一般来说,丢番图问题都是不可解的。更精确的说法是,不可能存在一个算法能够判定任何丢番图方程式是否有解,甚至,在任何相容于皮亚诺算数的系统当中,都能具体构造出一个丢番图方程,使得没有任何办法可以判断它是否有解。
到了后来的贝祖等式、勾股定理的整数解、四平方和定理和费马最后定理等都是丢番图的问题。都无法用简单的办法可以解出。
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