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第427章 莱维偏序关系（第1页）

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1905年，保罗莱维开始着手研究关于集合论的一些问题。

其中一个重要问题，是关于排序的。

集合论中有特性是无序性。

所以研究很多数域的时候，关于顺序的问题也变得重要起来。

其中最为重要的是哪些可以排序，哪些不可以排序。

莱维的老师和顾问为雅克阿达马。

他指导莱维做这方面的研究。

莱维说：“很多数域都可以正常排序，称之为全序。而很多数域不能有全序，那也不能贸然看成无序，也要研究偏序性。”

自然数的集合配备了它的自然次序（小于等于关系）。这个偏序是全序。

整数的集合配备了它的自然次序。这个偏序是全序。

自然数的集合的有限子集{1，2，...，n}。这个偏序是全序。

自然数的集合配备了整除关系。

给定集合的子集的集合（它的幂集）按包含排序。

向量空间的子空间的集合按包含来排序。

阿达马说：“偏序集合是数学中，特别是序理论中，指配备了部分排序关系的集合。这理论将排序、顺序或排列这个集合的元素的直觉概念抽象化。这种排序不必然需要是全部的，就是说不必要保证此集合内的所有对象的相互可比较性。部分排序集合定义了部分排拓扑。”

莱维说：“一般的说偏序集合的两个元素x和y可以处于四个相互排斥的关联中任何一个：要么xy，要么x和y是“不可比较”的（三个都不是）。全序集合是用规则排除第四种可能的集合：所有元素对都是可比较的，并且声称三分法成立。自然数、整数、有理数和实数都关于它们代数（有符号）大小是全序的，而复数不是。”

阿达马说：“这不是说复数不能全序排序；比如我们可以按词典次序排序它们，通过x+iy小于u+iv当且仅当x小于u或x等于u且y小于v，但是这种排序没有合理的大小意义因为它使得1大于100i。按绝对大小排序它们产生在其中所有对都是可比较的预序，但这不是偏序因为1和i有相同的绝对大小但却不相等，违反了反对称性。”

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