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第486章 伯格曼核(第1页)

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在此之前丘成桐也考虑了如何用伯格曼核的想法来逼近Kahler-Einstein度量,如何将卡拉比猜想推广到开流形与有奇点的流形上,并在几篇著名的综述文章中予以详细的阐述。

与第一陈类小于和等于零的情况相反,直到丘成桐提出他的猜想前,第一陈类大于零的情况一直显得颇为迷离。

首先这类流形有不存在Kahler-Einstein度量的例子。

在20世纪60年代,松岛(Matsushima)证明了Kahler-Einstein流形的自同构群必须可约。

80年代初,福复(Futaki)引进了此类流形上存在Khler-Einstein度量的障碍函数,被称之为福复不变量。

事实上,很多学者,如卡拉比、福复等都误以为没有全纯向量场应该是Kahler-Einstein度量存在的唯一必要条件,并没有意识到流形本身稳定的重要性。

在较特殊的复二维情形,有一些存在性结果,但萧荫堂一直认为,这些结果并不完备,至今也还没有完整的结果。此后近30年,田刚一直沿着丘成桐猜想所指出的研究方向不懈努力,试图理解正曲率条件下,稳定性与Kahler-Einstein度量的存在性如何相关,他用福复不变量定义了一个解析稳定性的概念,称为K-稳定性,并取得了一些进展。然而这个问题的真正突破来自于唐纳森,他在2001年证明了如果卡勒流形上的卡勒类中存在一个常数量曲率的度量,并且其自同构群是离散的,那么这个流形就是在代数几何意义下是稳定的。唐纳森所用的关健工具恰好是丘成桐考虑过的伯格曼核的逼近方法,他敏锐地观察到伯格曼核渐进展开的第二项正是数量曲率,如果它为常数,则相应的偏微分方程便可解。

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