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杨辉三角形,一目了然,每个数等于它上方两数之和。
研究过《九章》、《缉古》、《缀术》、《海岛》这些算法的楚衍说:“我发现了一个奇特三角,每行数字左右对称,由1开始逐渐变大。”
1050年写过《释锁算术》的贾宪说:“这个三角第n行的数字有n项。”
1261年,写过《详解九章算法》的杨辉说:“这个三角形前n行共[(1+n)n]2个数。”
1303年朱世杰说:“第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1),即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。”
1427年,写过《算术的钥匙》的阿拉伯人阿尔·卡西说:“第n行的第m个数和第n-m+1个数相等,为组合数性质之一。”
1527年德国人阿皮亚纳斯说:“每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和,这也是组合数的性质之一。即C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。”
1544年,写过《综合算术》的德国人米歇尔.斯蒂费尔说:“这是二项式展开式系数,其中(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应三角的第(n+1)行中的每一项。”
斐波那契说:“将第2n+1行第1个数,跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线,这些数的和是第4n+1个斐波那契数;将第2n行第2个数(n>1),跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。”
1545年法国的薛贝尔说:“将第n行的数字分别乘以10^(m-1),其中m为该数所在的列,再将各项相加的和为11^(n-1)。11^0=1,11^1=1x10^0+1×10^1=11,11^2=1×10^0+2x10^1+1x10^2=121,11^3=1x10^0+3×10^1+3x10^2+1x10^3=1331,11^4=1x10^0+4x10^1+6x10^2+4x10^3+1x10^4=14641,11^5=1x10^0+5x10^1+10x10^2+10x10^3+5x10^4+1×10^5=161051。”
1654年,写过《论算术三角形》的帕斯卡说:“第n行数字的和为2^(n-1)。1=2^(1-1),1+1=2^(2-1),1+2+1=2^(3-1),1+3+3+1=2^(4-1),1+4+6+4+1=2^(5-1),1+5+10+10+5+1=2^(6-1)。”
这个被欧洲人称之为帕斯卡三角形。
1708年的PierreRaymonddeMontmort说:“斜线上数字的和等于其向左(从左上方到右下方的斜线)或向右拐弯(从右上方到左下方的斜线),拐角上的数字。1+1=2,1+1+1=3,1+1+1+1=4,1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,1+3=4,1+3+6=10,1+4=5。”
1730年的亚伯拉罕·棣·美弗说:“将各行数字左对齐,其右上到左下对角线数字的和等于斐波那契数列的数字。1,1,1+1=2,2+1=3,1+3+1=5,3+4+1=8,1+6+5+1=13,4+10+6+1=21,1+10+15+7+1=34,5+20+21+8+1=55。”
后来人们也称呼这是中国三角形。
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