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策梅洛得知这个情况之后,想着手处理这个难题。策梅洛认为,想要解决理发师悖论问题,就需要规范集合论。不能再是按照康托尔的朴素集合论那样简单的进行了。
策梅洛对弗兰克尔说:“理发师的麻烦,摧毁了集合论,那集合公理化这个数学工程是没法做下去了。”
弗兰克尔说:“这个问题确实棘手,但是貌似我们还是可以有办法的。”
策梅洛说:“出现如此大的漏洞,不会那么容易有办法吧?”
弗兰克尔说:“罗素说的理发师问题,这是一个定义上的问题。不是每个数学模型都会有如此儿戏般的定义。我们只要在集合公理上加上一条,不要用类似有理发师悖论的定义了。”
策梅洛说:“废话,我还不知道吗?可问题有其他类型的悖论该怎么办?脆弱的集合论随时都会被各种古怪的话语所摧毁。”
弗兰克尔说:“你都说,古怪的话语,我们只要不要让古怪的话语在其中出现,问题不就解决了?”
策梅洛说:“如果做到这一点,难道是在其中设置一些限制,就像是法律规定一样,不要出现一些东西?”
弗兰克尔说:“当然了,正是有太多怪东西,我们分类铲除不就可以了?”
两个人商量着,根据前人的基础,创立了公理化集合论。其中有九条,这九条有了,任何集合公里都可以建立在这个基础上使用了。其中第二条,直接就排除掉了理发师悖论的问题。
一,外延公理:一个集合是由其元素决定的。两个元素相等则集合相等。
二,分离公理模式:一个公理元素对应的性质同时为真,才能是一个集合。
三,配对公理:两个集合中任意两个元素配对后可以形成一个集合。
四,并集公理:让两个集合元素加起来,形成一个新集合。
五,幂集公理(子集之集公理):存在以已知集合的一切子集为元素的集合。
前五个集合,消除了可能会出现罗素理发师悖论的可能性。
六,无穷公理:存在归纳集。也就是说,存在一集合x,它有无穷多元素。
七,替换公理模式(置换公理):也就是说,由F(x)所定义的函数的定义域在T中的时候,那么它的值域可限定在S中。
八,正则公理:也叫基础公理。所有集都是良基集。说明一个集合的元素都具有最小性质,例如,不允许出现x属于x的情况。
前八个是ZF公里,再加上第九个就变成ZFC公理。
九,选择公理:也叫策梅洛公理,对于任意两两不交的集合族,存在集合C,使对所给的族中的每个集合X,集合X与C的交恰好只含一个元素。
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