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f(x+y)=f(x)+f(y)
此方程的解称为加性函数,在有理数定义域上,利用初等代数我们很容易得出有一组函数满足条件,是f(x)=cx,其中c是任意实数。定义域是实数时,同样有一族函数满足条件,但有些是极其复杂的,所以我们需要更多的条件得到f(x)=cx,以下条件可得f(x)是正比例函数:
◎f是连续函数(在1821年已被柯西证明),后来在1875年被达布将条件减弱为f在某点连续。
◎存在a,b∈R,(a
◎f单调,或f在某开区间单调。
◎存在ε1>0,使得x∈[0,ε1],有f(x)≥0,或者存在ε2>0,使得x∈[0,ε2],有f(x)≤0
另外,如果没有其他条件的话,(假如承认选择公理成立),那么有无穷非f(x)=cx的函数满足该条件,这是1905年哈默(GeorgHamel)利用哈默基的概念证明的。
希尔伯特第五问题是该方程的推广
存在实数c使得f(cx)≠cf(x)解称为柯西-哈默方程(Cauchy-Hamelfunction),希尔伯特第三问题中,从3-D向高维度的推广所用的德恩-哈德维格不变量(Dehn-Hadwigerinvariant(s)),其中就用到柯西-哈默方程。
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