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阿贝尔:因为没钱,所以文章精炼。因为发表文章跟钱有关。
阿贝尔对雅克比说:“假设一个初始速度为零的质点沿着一条光滑的曲线在重力场中下落。该质点在重力场中下落高度为h.如果曲线的形状已知,那么我们就可以用微积分的方法计算出质点沿着该曲线下降高度h所需的时间T(h).”
雅克比说:“这是个很简单的问题啊,有什么可研究?”
阿贝尔说:“我考虑的是反问题,已知质点下降高度h所需的时间是T(h),问如何确定这条曲线的形状?”
雅克比说:“知道时间,直接去求曲线形状,这个有意思,也有挑战性,需要考虑各种情况呢。”
阿贝尔说:“这一般会需要一种积分方程,因为积分方程往往考虑的就是反问题。假如傅立叶展开已知,如何计算原函数。这就需要积分方程去解决。”
雅克比说:“积分方程通常会有一个核函数,有很大一类积分方程的问题是,已经知道了一个函数跟核函数的卷积,如何求出这个函数。”
阿贝尔说:“如果用现代数学的语言来描述,这就相当于已知一个算子作用在一个函数上的结果,如何求出这个原函数。”
雅克比说:“答案就是求出这个核函数或者算子的逆,把这个逆作用在已知的结果上,就得到了那个原函数。这个思路跟线性代数解方程求逆矩阵很像,于是就可以把函数类比做矢量,核函数或者算子类比做矩阵,卷积类比做矩阵与矢量的乘法。这里只是一个粗糙的类比。这种类比一旦严格化泛函分析就出现了。”
阿贝尔说:“例如如何计算一个函数的长度,或者叫范数,如何计算一个算子的逆,如何定义两个函数的夹角,如何计算函数的投影,如何对函数做正交基展开,如何保证求积分的时候不发散。”
后来两个人开始计算质点下降高度h所需的时间是T(h),问如何确定这条曲线的形状的问题,最后求出是摆线。
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