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第108夜 比例和分形二（第2页）

即便在行家看来，这个题目也未能透露出文章的内容是什么。谁又能知道这即将宣告具有重大意义的范式转换呢？

1967年，曼德尔布罗在著名的期刊《科学》上发表了一篇论文，题目清晰易懂：“英国海岸线有多长？数据自相似性和分形维数”。

通过发展理查森的发现，并概括其观点，理查森的工作得见天日。后来被称为“分形”的褶皱是由理查森的对数表中的直线的斜率决定的，斜率越大，曲线的褶皱越多（自然界中同一事物基本存在这样的规律，不只是每个国家的边境曲折程度，还有冰晶、雪花、河流、山脉、生物等，除非是人为制造的东西会不遵循这个规律）。

这些斜率是长度与精度相关的幂指数，类似代谢率与生物体体重相关的指数34。

对像圆这样十分平坦的传统曲线而言，斜率或指数为零，因为它的长度不会随着精度的提高而改变，而是会汇聚到一个固定的数值，正如起居室的例子一样。

然而，对崎岖不平、有褶皱的海岸线而言，斜率并不为零。

例如，对英国西海岸线而言，斜率为0.25；对挪威那样有着峡湾和多层次海湾的褶皱更多的海岸线而言，斜率为极大的0.52。

另外，理查森发现，南非海岸线与其他任何海岸线都不相同，斜率只有0.02，十分接**坦的曲线。至于西班牙和葡萄牙之间的边界线，之前出入很大的数据曾激发了理查森的兴趣，他发现其斜率为0.18，海岸线和边界线的分形利用不同精度测量海岸线的长度（例子中的英国）。

随着精度的变化，长度按照图中的幂律系统性增长。斜线给出了海岸线的分形维数，弯曲越多，斜线越陡峭。

为了理解这些数字的含义，想象一下，将测量的精度提高至原来的两倍，英国西海岸线的测量长度将会增加约25%，挪威海岸线的测量长度将会增加约50%。这是一个很大的差别，此前则完全被忽略，直至理查森于70年前偶然发现。

因此，若想要让测量的过程有意义，就必须知道精度很重要，它是整个过程中必不可少的一部分。要点很明确。

通常而言，如果不阐明用于测量的尺子的精度，引用测量数值就是毫无意义的。

从原则上来说，如果不给出测量的单位，只是说长度为543、27或1.289176，是毫无意义的。正如我们要知道长度单位是英里、厘米还是埃一样，我们也需要知道所使用的精度。

在自然界中，几乎没有什么东西是平缓的——大多数事物都是有褶皱的、不规则的、细圆齿状的，通常都以一种自相似的形式存在。

想想森林、山脉、蔬菜、云和海洋表面。

由此一来，大多数自然物体都没有绝对的客观长度，在陈述测量结果时，很重要的一点是要报告分辨率是多少。

那么，人们为何花了超过2000年的时间才意识到如此基本、现已显而易见的事情呢？

这很可能源于二元论，随着我们逐渐从与自然世界的紧密联系中分离出来，越来越远离决定生物学的自然之力，这种二元论开始出现。

当我们发明语言，学习如何利用规模经济的优势，组成社区，开始制作手工艺品时，我们事实上改变了我们日常生活及其周边环境的几何形状。

在设计和制造人类工程学产品时，无论是原始的罐子和工具，还是现代化的复杂汽车、计算机和摩天大楼，我们都使用并且追求直线、平滑曲线和平滑表面的简单性。

量化测量的发展及数学的发明，尤其是欧几里得几何的理想化范式，完美地展现了这一点。

这种与我们创造的手工艺品世界相适应的数学，伴随我们从一种哺乳动物进化到社会智人。

在这个人工制品的新世界中，我们不可避免地习惯于通过蒙蔽我们的欧几里得几何（直线、平滑曲线和平滑表面）的滤镜观察世界，至少科学家和技术专家如此，而我们所处的环境是一个混乱、复杂、令人费解的世界。

这在很大程度上是留给艺术家和作家想象的领域。

尽管度量在这一新鲜的、更加常规的人工世界中扮演着核心角色，但它具有欧几里得几何简单明了的特点，因此无须担心精度等刁钻的问题。

在这个新世界中，长度便是长度，仅此而已。然而，在我们周围直观的“自然”世界中却并非如此，它高度复杂，而且被褶皱、波纹和小褶皱主导。

正如曼德尔布罗简单明了地概述：“平缓的形状在野外很少见，但在象牙塔和工厂中极为重要。”

从19世纪初开始，数学家便已经开始思考不那么平缓的曲线和平面，但他们并非受到自然界中此类几何图形普遍存在的激励。

他们的动机仅仅是出于学术兴趣发掘新的观点和概念，如是否有可能构造出违反欧几里得神圣教条的一致几何形状。

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