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第107夜 比例和分形一（第2页）

你可以想象，多次重复这一过程，得到的结果基本上是相同的，每一个次单元都与按比例缩小后的原版整体相像。

换句话说，如果你为每一块西蓝花拍照，无论它们的尺寸大小，将它们的尺寸放大到原版头部大小，你都很难分辨出放大后的版本与原版的差别。

这与我们通常所见形成了鲜明的对比。例如，我们用显微镜放大观察一个物体，利用越来越高的分辨率找出更详细的细节及其与整体在本质上不同的新结构。

组织内的细胞、物质内的分子或原子内的质子便是显而易见的例子。

另外，如果该物体是分形的，当分辨率提高时，不会出现新的图案或细节：相同的图案会一遍又一遍地自我重复。

这当然是一个理想化的描述，在现实中，不同分辨率层次上的图案都会有细微的差别，最终递归重复停止，新的结构设计图案会出现。如果你持续将西蓝花分为越来越小的块，它们终将会失去西蓝花的几何特征，并最终展示出它们的组织、细胞、分子的结构。

这一重复现象被称作自相似性，是分形的一般特征。

与西蓝花所展示出的重复缩放相类似的是平行镜的无限反射或俄罗斯套娃，每一个套娃的尺寸有规律地缩小。

因为血流在沿着网络流动时会从脉动变为平缓，所以我们的循环系统实际上并不是持续性的自相似，也不是精确的分形。

在平缓区域内，血液流动受到黏滞力的影响，将耗费的力量最小化，这就带来了自相似性，相连续的血管的半径按照（=1.26…）这一常数因子不断缩小，而不是按照脉动区域的（=1.41…）这一常数因子缩小。

因此，循环系统的分形特征在从动脉到毛细血管时发生了细微的改变，反映了血液在从脉动区域向平缓区域流动时的特征的变化。另外，树木从树干到树叶维持了近似相同的自相似性，其半径按照的等积率连续缩小。

空间填充要求网络必须服务于各个层级的生物体，这便要求血管的长度具有自相似性。

为了填充三维空间，连续血管的长度必须按照这一常数因子缩小，与半径相比，这在整个网络中持续有效，包括脉动区域和平缓区域。

在确定了个体内部的网络如何根据这些简单法则按比例缩放后，最后要确定的便是如何在不同体重的物种之间建立联系。

能量最小化原则所带来的进一步结果帮助我们完成了这个任务，即网络的体积（体内的血液总量）必须与身体体积成正比，因而与体重成正比。

换句话说，血液体积与身体体积的比值是一个常数，无论体形是大是小。对一棵树来说，这很明显，因为其树枝网络构成了整棵树，网络的体积便是树的体积。

现在，网络的体积便是其所有血管或分支的体积的总和，可以通过它们的长度和半径计算出来，由此我们便将内部网络的自相似性与体形大小联系在一起。

这是长度的立方根规模法则和半径的平方根规模法则之间的数学关系，受到血液体积的线性缩放和终端单元恒定性的约束，由此产生了14次幂异速生长指数。

自然选择利用分形网络的数学奇迹，优化了其能量分配，让生物体就像在四维空间而不是标准的三维空间内运转。

从这个意义上说，普遍存在的数字4其实应该是3+1。

一般来说，那个1是空间维度。如果像我那些信奉弦理论的朋友所说的那样，我们生活在11维度的宇宙中，神奇数字就应该是11+1=12，我们讨论的就应该是112次幂规模法则的普遍性，而非14次幂规模法则。

分形：神秘的边界延长。

数学家很早就认识到，在自古以来构成数学和物理学基础的经典欧几里得几何的规范边界之外还有几何形状。

我们许多人曾经痛并快乐地学习的传统知识框架认为，所有的线和面都是光滑流畅的。

产生中断和褶皱概念（已经成为现代分形概念的一部分）的新奇观念被数学家从严格数学中延伸出来，但在真实世界中并没有被普遍认为起着重要作用。

法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗（BenoitMandelbrot）提出了重要的洞见，褶皱、中断、粗糙和自相似性，即分形，事实上是我们生活的复杂世界的普遍特点。

回想起来，这一洞见在2000多年的时间里与伟大的数学家、物理学家和哲学家失之交臂，这实在令人吃惊。

与许多伟大的进步一样，曼德尔布罗的洞见现在看起来“十分明显”，令人无法相信他的结论未能在此前数百年出现。

毕竟很长一段时间以来，“自然哲学”一直是人类智力劳动的重要领域，几乎所有人都熟悉西蓝花、血管网络、小溪、河流和山脉，这些现在都被认为是分形。

然而，几乎没有人思考过它们的结构和组织的普遍规律，也没有用数学语言来对它们进行描述。

或许，就像更重的物体下降速度更快这样的亚里士多德式的错误假设一样，根植于欧几里得几何的柏拉图式的平滑理想状态在我们的灵魂深处根深蒂固，我们必须要等待很长时间，等到某个人真正检验其是否属实。

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